KaleidoTile
Pavimentações e simetria
Questões para trabalho em pequenos grupos, utilizando KaleidoTile 3
Aquecimento
Jogue com KaleidoTile. Experimente com diferentes simetrias, e diferentes cores ou figuras. Deixe cada pessoa do seu grupo fazer uma pavimentação que ache particularmente bonita. Pode utilizar as imagens incluídas na paleta de imagens do KaleidoTile ou pode colar as suas próprias imagens, clicando num dos pequenos botões em forma de prancheta. Escreva no computador as suas respostas a estas questões; copie e cole para o seu relatório a pavimentação feita por cada pessoa.
Questão #1
Vá ao menu Ver e experimente com Mostre imagens directas, Mostre imagens reflectidas e Corte ao longo das linhas-espelho. Explique a relação entre o poliedro ou a pavimentação (na parte principal da janela) e o triângulo fundamental (no painel lateral à direita).
Questão #2

Cada tipo de simetria — ou grupo de simetria — é designado de acordo com os ângulos do seu triângulo fundamental. Suponhamos, por exemplo, que o triângulo fundamental é um triângulo rectângulo 30-60-90.   180º é divisível pelo valor de cada ângulo:

30° = 180° / 6
60° = 180° / 3
90° = 180° / 2

e, por isso, o grupo de simetria é chamado o grupo triangular (6,3,2). No entanto, em geral as pessoas indicam os números em ordem ascendente e chamam-lhe grupo triangular (2,3,6). No Kaleidotile, pode invocar o grupo triangular (2,3,6), quer clicando na flor de 6 pétalas no painel de controlo, quer seleccionando Escolher simetrias… a partir do menu Ver e escolhendo 2, 3 e 6.

Definição. Se começar com um triângulo com ângulos ( 180°/p, 180°/q, 180°/r ), o grupo de simetria resultante diz-se um grupo triangular (pqr).

Se o triângulo fundamental for um triângulo rectângulo 45–45–90, qual é o nome do grupo triangular?

Invoque aquele grupo triangular no Kaleidotile e pinte as faces para obter uma pavimentação com bom aspecto. Copie e cole a pavimentação para o seu relatório.

Questão #3

Às vezes o KaleidoTile produz uma pavimentação de uma superfície esférica, outras vezes de um plano euclidiano e outras vezes de um plano hiperbólico. Encontre uma regra simples que lhe permita prever qual destes casos terá lugar, para um dado grupo triangular (pqr).

Sugestão: Que ângulos ( 180°/p, 180°/q, 180°/r ) podem ser os ângulos de um triângulo euclidiano?

Questão #4

Faça uma lista de todos os grupos triangulares possíveis (pqr) que pavimentam o plano euclidiano.

Faça uma lista de todos os grupos triangulares possíveis (pqr) que pavimentam a superfície esférica. Para tornar bonita e redonda a sua superfície esférica, vá a Escolher um estilo no painel de controlo e clique no símbolo redondo.

Faça uma lista de três grupos triangulares (pqr) diferentes que pavimentem o plano hiperbólico. Ao todo, quantos grupos triangulares diferentes pavimentam o plano hiperbólico?

Questão #5

Faça uma bola de futebol utilizando o KaleidoTile. Copie e cole no seu relatório uma imagem da bola de futebol.

Que grupo triangular (pqr) utilizou?

Questão #6

Vá à secção Mover o ponto-controlo do Painel de Controlo e experimente com o pequeno ponto-controlo, em que as três cores se encontram.

Que posições do ponto-controlo dão pavimentações com todas as faces regulares? Uma face regular é uma face cujos lados têm todos o mesmo comprimento e cujos ângulos são todos iguais.

Pode colocar o ponto-controlo por forma que todas as faces de uma cor sejam regulares, enquanto as faces das outras duas cores não sejam? Se sim, copie e cole uma imagem da pavimentação para o seu relatório. Se não, explique porquê.

Pode colocar o ponto-controlo numa posição tal que para dois conjuntos de faces (de cores diferentes) elas sejam regulares, enquanto para o restante conjunto de faces não sejam? Se sim, copie e cole uma imagem da pavimentação no relatório. Se não, explique porquê.

Questão bonus

Os únicos ângulos legais para o triângulo fundamental são

180°/2180°/3180°/4180°/5180°/6
=90°60°45°36°30°

O que aconteceria se escolhêssemos um triângulo fundamental com ângulos ilegais, por exemplo, 37°, 42° e 101°, e começássemos a reflectir ao longo dos seus lados, para fazermos uma pavimentação?