万華鏡タイル
タイル張りと対称性
「万華鏡タイル3」を使った、少人数グループのための、研究問題
ウォーミング・アップ

まず「万華鏡タイル」を使ってみて、いろいろな対称性と、いろいろな色や図柄での装飾とを、試してみること。 タイルを装飾するのには、予め組み込まれている図柄を、ピクチャー・パレットより選択してもよいし、 自分の好きなイメージを、各面のピクチャー・パレットの上側にある、 小さなクリップ・ボードの形をしたボタンをクリックすることによって、貼付けることもできる。 各自、自分が最も美しいと感じるタイル張りを作成すること。

下記の問題への解答は、ワープロ・ソフトを使って、各自レポートにせよ。 レポートには、上で作成したタイル張りをコピー・アンド・ペーストして提出すること。

問1
表示」メニュー下の、 「基本領域の非鏡映像を表示」、「 基本領域の鏡映像を表示」、そして 「鏡映線を表示」の諸機能を、オンにしたりオフにしたりして、画像がどのように変わるか、実験せよ。 そして、「万華鏡タイル」が作画したタイル張り(多面体、あるいはモザイク模様)と、ウィンドウの右袖に表示されている、 基本領域である三角形とが、どのような関係にあるのか、述べよ。
問2

それぞれの対称性のパターン、すなわち、数学でいうところの「対称性の群」は、 基本領域である三角形の、3つの内角の大きさで、分類される。 例えば、基本領域が、3つの内角が、30度、60度、90度の直角三角形の場合を考えよう。 それぞれの内角は、180度の整数分の1になっている:

30° = 180° / 6
60° = 180° / 3
90° = 180° / 2

このことから、対応する「対称性の群」を、3つの整数を小さい順に並べて、「(2,3,6) 三角群」と呼ぶ。 「万華鏡タイル」で対称性を、 (2,3,6) 三角群に設定するには、ウィンドウ右袖のコントロール・パネルの、 六弁の花のマークをクリックするか、 「表示」メニュー下の「対称性の設定…」を選択し、数字を 2, 3, 6 に合わせる。

定義: 基本領域が、3つの内角が ( 180°/p, 180°/q, 180°/r ) で与えられている三角形であるとき、 対応する対称性の群を、「(pqr) 三角群」という。 但し、p, q, r は正の整数で、p ≤ q ≤ r とする。

問2A: 基本領域が、3つの内角が、45度、45度、90度の直角三角形であるとき、対応する三角群は何か?

問2B: 万華鏡タイルの対称性を、問2Aの三角群に設定し、各面を装飾して、見栄えの良いタイル張りを作成せよ。 出来上がったタイル張りを、レポートにコピー・アンド・ペーストして、提出せよ。

問3

「万華鏡タイル」は、対称性を、どの三角群に設定するかによって、作成されるタイル張りが、 球面のものだったり(多面体)、ユークリッド平面のものだったり、双曲面のものだったりする。 与えられた (p, q, r) 三角群に対称性を設定したとき、3つの可能性のうち、 どのタイル張りになるかを予測する、簡単な法則を見つけよ。

ヒント:3つの内角 ( 180°/p, 180°/q, 180°/r ) が与えられたとき、 三角形が平面のものになるのは、どのような条件が満たされたときか?

問4

平面をタイル張りにする、全ての (pqr) 三角群を列挙せよ。

球面をタイル張りにする、全ての (pqr) 三角群を列挙せよ。 球面を丸く膨らませるには、ウィンドウ右袖のコントロール・パネルで「作画モード:」を◯印に設定せよ。

双曲面をタイル張りにする、3つの (pqr) 三角群を挙げよ。 双曲面をタイル張りにする (pqr) 三角群は、全てで幾つあるか?

問5

「万華鏡タイル」でサッカー・ボールを作成せよ。出来上がった画像を、レポートにコピー・アンド・ペーストして提出せよ。

このとき、どの (pqr) 三角群を使うべきか?

問6

ウィンドウ右袖のコントロール・パネルの「頂点位置:」の下に表示された 基本領域三角形のなかに、三色が合わさるところの小円で記された「頂点」がある。 この頂点を動かし、画像がどう変わるか、実験せよ。

どの頂点位置のときに、タイル張り(多面体、あるいはモザイク模様)は正多角形によるものになるのか? 正多角形 とは、全ての辺の長さが等しく、全ての内角の大きさが等しい多角形をいう。

頂点位置を調節することによって、三色の多角形のうち、一色だけが正多角形になり、他の二色が正多角形にならないようにできるか? できるならば、そのようなタイル張りを作成し、レポートにコピー・アンド・ペーストして提出せよ。 できないならば、できない理由を説明せよ。

頂点位置を調節することによって、三色の多角形のうち、二色が正多角形になり、残りの一色が正多角形にならないようにできるか? できるならば、そのようなタイル張りを作成し、レポートにコピー・アンド・ペーストして提出せよ。 できないならば、できない理由を説明せよ。

ボーナス点問題

基本領域の三角形の内角の大きさとして許されるものは

180°/2180°/3180°/4180°/5180°/6
=90°60°45°36°30°

のように、180度の整数分の1だけである。 もし、基本領域三角形の内角の大きさとして、許されない角、例えば、37度、42度、101度等をとって、 タイル張りを作成しようとしたならば、どのような不都合がおきるのか?